| Новости | FAQ | Вакансии | Контакты
 

Закон Парето и самоподобие в АВС-анализе. Ваньян П.Л. журнал "Логистик&система", июль 2005

В литературе по логистике традиционно популярен закон «20/80», или закон Парето. Смысл закона, восходящего к работам социолога Вильфредо Парето, состоит в констатации того факта, что за 80% результата отвечает 20% причин. Поскольку подавляющую долю эффекта определяет лишь небольшая доля элементов, дающих максимальный вклад, их влияние оказывается непропорционально велико, поэтому этот закон также называют принципом дисбаланса.

Под «результатом» процесса может пониматься суммарный объем продаж многономенклатурного товара, благосостояние населения страны, объем товара на складе, суммарный индекс цитирования в научной литературе, количество жителей городов и т.п. Важно, чтоб число составляющих (количество ассортиментных позиций, население страны, количество авторов, количество городов и т.д.), было бы велико. Популярность закона Парето определяется с одной стороны его чрезвычайной простотой и наглядностью, а с другой стороны – возможностью применения в анализе очень широкого круга процессов.

Применение закона Парето в логистике

Как показывает практика, соотношение 20/80 не является абсолютным и универсальным. Зачастую оно трансформируется в 15/85 или 30/70. Более того, сумма входящих в соотношение величин не обязательно должна равняться 100 процентам. Как следствие принципа дисбаланса это соотношение может принимать вид 10/70 или 50/95.

На принципе дисбаланса основывается и ABC-анализ, при проведении которого строится график зависимости совокупного эффекта от количества элементов. Такой график называется кривой Парето, кривой Лоренца или ABC-кривой. По результатам анализа ассортиментные позиции ранжируются и группируются в зависимости от размера их вклада в совокупный эффект. В логистике ABC-анализ обычно применяют с целью отслеживания объемов отгрузки определенных артикулов и частоты обращений к той или иной позиции ассортимента, а также для ранжирования клиентов по количеству или объему сделанных ими заказов.

Если n обозначает номер ассортиментной позиции в упорядоченной по убыванию размера вклада в совокупный эффект последовательности из N позиций, то xn = n / N. Если yn обозначает суммарный эффект первых n позиций последовательности, то Yn = yn / yN . Зависимость Yn(xn) и является в ABC-анализе предметом изучения. При исследовании процессов с большим количеством элементов N можно перейти от дискретных зависимостей к их описанию непрерывными функциями. И тогда предметом изучения будет выступать зависимость Y(x), при условии, что Y(0) = 0, Y(1) = 1.

Практические примеры

Рассмотрим ряд примеров, иллюстрирующих применение принципа Парето в логистике. На рисунке 1 изображены кривые Лоренца, дающие наглядное представление об объемах отгрузок со складов ряда разнопрофильных дистрибьюторских компаний. Очевидно, что, хотя все кривые демонстрируют выраженный дисбаланс, точка с координатами x = 0,2, Y = 0,8 не является точкой притяжения представленного семейства кривых. Точкой притяжения принято называть точку, в малой окрестности которой проходят все кривые семейства.

А в таблице 1 представлены соотношения доли ассортимента и доли отгрузки в точке, где сумма этих долей для каждой компании равна 100 процентам. Приведенные данные свидетельствуют, что 20% ассортимента обеспечивают от 80 до 90% отгрузок, а на долю 80% ассортимента приходится от 10 до 20% отгрузок.

Таблица 1.

Компания

1

2

3

4

5

X/Y 

17/83

14/86

20/80

18/82

16/84

Рисунок 1.
рисунок 1
к рисунку: 1 - компьютеры и компьютерные комплектующие, 2 - типографские краски, 3 - книжная торговля, 4 - кондитерские изделия, 5 - фармацевтика

Закон Парето: традиционная трактовка

В современной логистике все чаще используется следующая формулировка правила Парето: существует выраженный дисбаланс во вкладе от разных позиций в совокупный эффект - как правило, 10¸20% элементов обеспечивают 70¸90% результата. Целью же применения правила Парето на практике является концентрирование внимания на наиболее значимых, приоритетных ассортиментных позициях, заказчиках или поставщиках. Но по каким-то причинам в решении все тех же практических задач функциональная зависимость кривой Лоренца почти не используется, хотя анализ характеристик этой кривой позволяет получить дополнительную, но не менее важную количественную информацию об изучаемом бизнес-процессе.

В настоящее время не существует и корректной теоретической модели ABC-анализа для логистических процессов. Эта статья призвана показать, что обобщенная трактовка закона Парето позволяет получить достаточно неожиданные результаты, которые могут стать отправной точкой в построении математической модели ABC-анализа.

Если бы вклад в эффект от различных ассортиментных позиций был одинаков, то есть дисбаланс бы отсутствовал, то зависимость Y(x) имела бы вид Y(x) = x. Отклонения от этой зависимости определяют величину дисбаланса, то есть неравномерность в распределении вклада от различных ассортиментных позиций. Возникает уместный вопрос: есть ли в зависимости Y(x) какие-либо универсальные закономерности? Повторяемость (неслучайность) функции Y(x) должна свидетельствовать о наличии некоторого механизма, определяющего статистическую зависимость между спросом на различные ассортиментные позиции. Ниже будет показано, что такие закономерности в логистических процессах действительно существуют.

Обобщение закона Парето

Взяв за основу только первые ассортиментные позиции номенклатурного ряда, предположим, что числовые характеристики дисбаланса (не обязательно 20/80) не меняются. ABC-кривая в этом случая примет вполне определенный функциональный вид, причем окажется, что любая ее часть геометрически подобна всей кривой. Выдвинутое предположение можно назвать гипотезой о самоподобии кривой Лоренца.

Универсальный вид ABC-кривой - степенная зависимость
Допустим, что в произвольной выборке позиций, отсортированных по убыванию их значимости, вклад первых позиций, составляющих долю k (0 < k < 1) в ассортименте, обеспечивает долю l (0 < l < 1) в суммарном эффекте. Значения параметров k и l в предлагаемой гипотезе не фиксируются (для классического соотношения 20/80 k = 0,2, l = 0,8).

Обобщение закона Парето математически будет выражаться следующим образом: существуют постоянные величины k и l, не обязательно равные 20% и 80%, что

Y(kx) = lY(x) при 0 £ X £ 1                               (1).

Функциональное уравнение 1 при некоторых естественных ограничениях, как то непрерывность функции в нуле, имеет единственное решение

Y(x) = xα                                                               (2),

где α = ln(l) / ln(k).

Для доказательства справедливости последнего утверждения представим функцию Y(x) в виде

Y(x) = xαZ(x)                                                       (3).

Подставляя выражение 3 в уравнение 1, для функции Z(x) получим

Z(kx) = Z(x)                                                         (4).

Если предположить, что функция Z(x) непрерывна в окрестности x = 0, то нетрудно показать, что Z(x) = const, а поскольку Y(1) = 1, то Z(x) = 1, что доказывает единственность решения уравнения 2.

Для классического соотношения 20/80 степенной параметр a имеет следующее значение: α = ln(0,8) / ln(0,2) 0,139.

Одним из наиболее распространенных способов применения ABC-анализа на практике является разнесение ассортиментных позиций по группам A, B и C в соответствии с их кумулятивным (накопительным) вкладом в совокупный эффект. Традиционно к группе A относят такие позиции, которые дают 80% эффекта, но составляют при этом около 20% всей номенклатуры. К группе B - позиции, чей вклад в совокупный эффект вместе с позициями группы A составляет порядка 95%, причем в группу B должно входить около 30% ассортимента. Соответственно, на 50% ассортимента, входящего в группу C, обычно остается около 5% совокупного эффекта. При выполнении степенного закона (2) для кривой Лоренца одновременное выполнение соотношений 20/80 и 50/95 невозможно, поскольку первое из них реализуется при α ≈ 0,139, а второе - при α ≈ 0,07.

Распределение вероятностей результата - распределение Парето
Теперь найдем, как должны быть распределены значения вкладов от различных ассортиментных позиций, чтоб ABC-кривая приняла степенной вид (2).

Пусть p(t) - плотность распределения ассортиментных позиций в соответствии с величиной их вклада. По определению плотности распределения или частоты доля ассортимента, попадающего в интервал (t, t+dt), составляет p(t)dt. Тогда величины X и Y будут определяться выражениями:

 (5),

(6),

где - нормировочный множитель, обеспечивающий выполнение соотношения Y(T=0) = 1. Из свойств нормировки плотности распределения p(t) следует X|T=0 = 1.

Уравнения 5 и 6 определяют параметрическую зависимость функции Y(X) через параметр T. Для нахождения плотности p(t) продифференцируем выражение 2 по параметру T. Из формул 5 и 6 очевидно следует:

 

(7),

(8),

Сокращая в полученном выражении левую и правую части на функцию p(T), получим T = α < t > xα-1 при p(T) ≠ 0.
Выражая величину X через параметр T, найдем:

X=(α < t >)1/(1-α)T-1/(1-α)                                                            (9).

Дифференцируя выражение 9 по T и используя уравнение 7, получим

 

  (10).

Здесь A = a1/(1-α) / (1-α), < t > = a / α, а функции X и Y существуют при 0 < α < 1.

Отметим, что функция Y(X) от масштабного параметра a не зависит, то есть ABC-кривые для распределения (10) определяются только степенным показателем распределения α.

Распределение с плотностью (10) хорошо известно, например, в литературе, посвященной теории вероятностей, оно носит название распределения Парето, или гиперболического распределения. Такие распределения относятся к распределениям с «тяжелыми» хвостами. По сравнению с экспоненциальным затуханием, характерным для показательного, гауссовского и подобных распределений, у распределений с плотностью степенная скорость убывания плотности распределения (10) при больших значениях аргумента мала. А у распределения Парето вероятность экстремально большого значения многократно выше, чем у распределений с экспоненциальным затуханием плотности, поэтому старшие вероятностные моменты у распределения Парето отсутствуют, в частности, при α < 0,5 отсутствует (равна бесконечности) дисперсия, то есть второй момент.

Таким образом, из гипотезы о самоподобии АВС-кривой, являющейся обобщением закона Парето, однозначно следует, что эта кривая имеет степенную зависимость, а распределение вероятностей вклада от номера ассортиментной позиции является распределением Парето.

В таблице 2 представлены зависимости кумулятивного вклада от доли позиций в ассортименте для степенного закона (2) при ряде значений параметра a. Цветом выделены значения, соответствующие классическому закону «20/80».

 

Таблица 2.

X

α=0,05

α=0,1

α=0,139

α=0,3

α=0,5

α=0,9

0%

0%

0%

0%

0%

0%

0%

1%

79%

63%

53%

25%

10%

2%

2%

82%

68%

58%

31%

14%

3%

5%

86%

74%

66%

41%

22%

7%

10%

89%

79%

73%

50%

32%

13%

20%

92%

85%

80%

62%

45%

23%

30%

94%

89%

85%

70%

55%

34%

40%

96%

91%

88%

76%

63%

44%

50%

97%

93%

91%

81%

71%

54%

60%

97%

95%

93%

86%

77%

63%

70%

98%

96%

95%

90%

84%

73%

80%

99%

98%

97%

94%

89%

82%

90%

99%

99%

99%

97%

95%

91%

100%

100%

100%

100%

100%

100%

100%

 

Сравнение с фактическими данными

Обратимся к реальным данным, полученным при анализе объемов отгрузки со складов ряда компаний разного профиля. Для изучения степенных зависимостей удобно перейти к логарифмам величин или к логарифмическим координатам. В этом случае степенные зависимости переходят в линейные, а наклон прямых определяется значением степенного показателя. На рисунке 2 представлены те же данные, что и на рисунке 1, но в логарифмических координатах.

Рисунок 2.

к рисунку: 1 - компьютеры и компьютерные комплектующие, 2 - типографские краски, 3 - книжная торговля, 4 - кондитерские изделия, 5 - фармацевтика

Рисунок 2 показывает, что область ABC-кривой, определяемая «хвостами» распределения, то есть элементами с максимальным вкладом (30-65% совокупного результата, примерно 3-10% ассортимента), действительно удовлетворительно описывается степенной зависимостью Y(x) = Bxα, где степенной параметр α принимает значения от 0,33 (кривая 5) до 0,8 (кривая 2). Значения параметров α и B для компаний 1-5 представлены в таблице 3. Наличие такой зависимости, характерной для различных бизнесов, позволяет надеяться на возможность построения теоретической модели спроса в системе многономенклатурной дистрибуции.

Практическое применение: анализ ассортимента

Адекватная модель отгрузки может дать большой объем практической информации для аналитиков и управленцев. В частности, можно предложить следующий метод оценки качества сбытовой политики дистрибьютора. Параметр B в степенной аппроксимации экспериментальных данных будет определяться долей позиций, вносящих вклад в результат. Но если сравнить этот вклад с тем, который эти позиции могли бы привнести при степенной зависимости для кривой Лоренца, то он будет меньше. Таким образом, параметр B определяет отклонение фактической ABC-кривой от универсальной модельной зависимости. Введем коэффициент «использования ассортимента» М, определяемый как доля реального ассортимента, которая обеспечивала бы тот же оборот при продолжении асимптотики «хвоста» распределения в область позиций с меньшим оборотом.

Нетрудно показать, что коэффициент М определяется абсциссой точки пересечения графиков Y = 1 и Y = Bxα, то есть М = B-1/α.

Приведенные в таблице 3 данные демонстрируют, что лишь небольшая доля ассортимента могла бы обеспечить те же обороты, если бы распределение оборота по позициям соответствовало закону Парето.

Таблица 3.

Компания

α 

B 

M

1

0,57

4,06

0,09

2

0,80

9,97

0,06

3

0,36

1,61

0,27

4

0,55

3,32

0,11

5

0,33

1,65

0,21

Точка притяжения ABC-кривых

Интересно отметить, что согласно таблице 3 между параметрами a и B существует корреляция. Как было отмечено выше, ABC-кривые не фокусируются вокруг точки с координатами x = 0,2, Y = 0,8. Зададимся вопросом, а есть ли у данных кривых точка притяжения в области малых X, то есть описывающих «хвост» распределения? В этой области все кривые удовлетворительно описываются зависимостью Y = BXα, поэтому для существования точки притяжения с координатами (X0;Y0) необходимо, чтобы для всех кривых выполнялось соотношение ln(B) = ln(Y0) - αln(X0), то есть зависимость величины ln(B) от параметра α была бы линейной. На рисунке 3 представлен график этой зависимости по данным пяти дистрибьюторских компаний и линейная аппроксимация зависимости, найденная методом наименьших квадратов.

Рисунок 3.

к рисунку: 1 - компьютеры и компьютерные комплектующие, 2 - типографские краски, 3 - книжная торговля, 4 - кондитерские изделия, 5 - фармацевтика

Видно, что имеющиеся данные вполне удовлетворительно ложатся на аппроксимирующую линейную зависимость. Числовые значения параметров для  данной аппроксимации составляют: ln(X0) = -3,9577, ln(Y0) = -0,8916. Точка притяжения имеет координаты: X0 = 0,019, Y0 = 0,41. Выходит, что по рассмотренным данным правило Парето скорее должно было бы трансформироваться в правило «2/40».

Разные единицы измерения

ABC-анализ применим для ранжирования и классификации любых неотрицательных величин. В логистике его наиболее часто используют при изучении характеристик грузооборота, для количественного выражения которого могут быть использованы принципиально различные единицы измерения. Например, материальные потоки можно представить и в единицах продукции (количестве штук), и в грузовых единицах (количестве коробов или паллет), и в финансовых единицах (по стоимости товара), и в некоторых физических характеристиках (объем или вес товара).

Для анализа средств, «замороженных» в товаре, естественно использовать финансовые показатели, а для расчета грузовместимости транспорта важнее весогабаритные характеристики. Как же тогда связаны ABC-кривые при переходе от одних единиц измерений к другим?

Пусть p(x) - плотность распределения ассортиментных позиций по величине спроса x, выраженного в единицах товара. Каким будет то же самое распределение при анализе спроса, выраженного в денежных единицах? Очевидно, что если стоимости единиц товара одинаковы, то функционально (с точностью до масштабного преобразования) распределение спроса по денежным единицам и по единицам товара отличаться не будет. Более того, при некоторых условиях распределение Парето для спроса, выраженного в одних единицах, не меняет своего функционального вида при переходе к другим единицам измерения.

Пусть c - цена единицы товара, а s обозначает стоимость товара, тогда s = xc. Используя теорему Байеса, можно показать, что плотность распределения p1(s) ассортиментных позиций по объему спроса в денежных единицах выражается через плотность p(x) следующим образом:

 

(11)

где f(c|s) - условная плотность распределения стоимости единицы товара c при фиксированном объеме продаж s.

В общем случае распределения p и p1 , связанные уравнением 11, могут иметь принципиально различающийся вид. Если распределение вероятностей стоимости единицы товара не зависит от величины товарооборота, то есть f(c|s) = f(c), то из степенного закона для распределения p немедленно следует степенной закон для плотности p1, причем с тем же значением степенного показателя α. Аналогично, если распределение цены не зависит от объема продаж при больших s, то при наличии у плотности p степенного «хвоста», распределение p1 будет также иметь степенной «хвост». Если распределение p отличается от степенного, то даже при независимости распределения цены товара от величины товарооборота такой вывод невозможен. Связано это со специфическим свойством распределения Парето: масштабное преобразование этого распределения не меняет его функциональный вид, а лишь преобразует масштабный множитель: p(lx) ~ p(x)p(l).

Практическое применение: анализ отгрузок

Наличие теоретической модели ABC-кривых позволяет рассчитывать и анализировать большое количество параметров, характеризующих сбытовую политику компании. Представленные на рисунке 2 результаты однозначно свидетельствуют о том, что значения вклада в совокупный результат от позиций с малым оборотом занижены по сравнению со значениями, которые были бы у этих позиций, если кривая Лоренца имела бы универсальный вид (2).

Отмеченная зависимость характерна для весьма различающихся бизнесов и, по-видимому, неслучайна, скорее даже, отражает определенные закономерности. На рисунке 4 представлены результаты расчета коэффициента занижения оборота q в зависимости от номера ассортиментной позиции для пяти дистрибьюторских компаний. Коэффициент q определяется как отношение фактической отгрузки по позиции к величине отгрузки по позиции с тем же номером при универсальном степенном распределении с показателем α, найденным по линейной аппроксимации логарифмов «хвостов» имеющихся распределений.

Анализ данных, представленных на рисунке 4, показывает, что оборот по ассортиментным «хвостам» всех компаний систематически «не добирает» по сравнению с рассчитанным значением.

 

Рисунок 4.

 

 

к рисунку: 1 - компьютеры и компьютерные комплектующие, 2 - типографские краски, 3 - книжная торговля, 4 - кондитерские изделия, 5 - фармацевтика

Причины отклонений от закона Парето

Попробуем найти и проанализировать причины, по которым распределение вероятностей объема отгрузки может отличаться от распределения Парето, а ABC-кривая - от степенной зависимости. Необходимо помнить, что отгрузки со склада - это выборка удовлетворенного спроса. Очевидно, что не весь случайный спрос потребителей может быть удовлетворен из имеющегося товарного запаса. Можно предположить, что степень удовлетворения заказов неодинакова для ходовых и непопулярных товаров. В частности, ABC-анализ в подавляющем большинстве случаев и делается для того, чтобы, во-первых, выявить наиболее важные с точки зрения бизнеса ассортиментные позиции, во-вторых, сгруппировать их, чтобы впоследствии дифференцированно управлять товарным запасом по группам.

Другим важным моментом, заметно улучшающим уровень сервиса, является возможность удовлетворения экстремально большого запроса под заказ с отсрочкой его выполнения. Для позиций ассортиментного «хвоста» (по крайней мере, на примере рассмотренных бизнесов) более характерно обслуживание со склада, что может также сокращать реализацию по сравнению со спросом.

Заключение

Все вышеизложенное позволяет качественно объяснить вероятное занижение отгрузок по сравнению с потенциальным спросом. Для количественного анализа сбытовой политики дистрибьюторских компаний необходимо тщательно фиксировать и отслеживать все запросы клиентов. Для корректного управления товарным запасом в информационной системе компании следует хранить даже те заказы, которые не были удовлетворены из-за отсутствия или недостаточного количества товара на момент заказа. На практике такой учет происходит очень редко, и в подавляющем большинстве случаев анализируется информация только о реализованном спросе. Отдельно хотелось бы подчеркнуть: ABC-анализ, ставший в современной логистике практически рутиной или практической рутиной, существенно более глубок и информативен, чем принято считать.

 

 

Онлайн-калькулятор
Try RopRoq
 
Загрузки

Презентация на ММЛФ-14
Презентация на ММЛФ-13
Презентация на Логист-10

Видео Логист-10 (AVI, 60Mb)
Буклет Inventor Soft
Booklet Inventor Soft

Презентация короткая
Презентация длинная
Презентация Fresh

 
Отзыв о системе

"Проект реализован в соответствии с согласованными на старте сроками, все согласованные доработки были выполнены представителями компании Inventor Soft в полном объеме. Работу в рамках проекта с представителями компании Inventor Soft следует охарактеризовать, как работу единой и слаженной команды, ориентированной на единый результат – достижение экономического эффекта для компании БаДМ за счет оптимального управления товарными запасами."

Виктор Чичерин
Директор "БаДМ"

 

Яндекс.Метрика

+7 (495) 177-68-76 | info@inventorsoft.ru
117587, Москва, Варшавское шоссе, 122А